giacinto's Sublime

 Witten  super-simmetriche quantisticousia  Eventi Essenzialm-ente tali teorie quantistiche di campo deve essere  topology topologia physics topology on the other hand, ma, prendendo proprio spunto dalla fisica, da un lato e la topologia, dall'altro, it is possible to make intelligent guesses and conjectures. è possibile fare ipotesi e congetture intelligente. There is now ample evidence Vi è ora numerose prove in favour of many of these conjectures, a number of which have been rigorously esta- a favore di molte di queste congetture, alcune delle quali sono stati rigorosamente esta- blished by alternative methods. tuito mediante metodi alternativi. This applies for example to results concerning "elliptic Ciò vale ad esempio per i risultati in materia di "ellittico cohomology" [17] and to the topic I shall discuss in detail in this paper. coomologia "[17] e l'argomento parlerò in dettaglio in questo documento. Perhaps a few further comments should be made to reassure the sceptical reader. Forse un ulteriore alcune osservazioni devono essere effettuate a rassicurare il lettore scettico. The quantum field theories of interest are inherently non-linear^ but the non-linearities Le teorie di campo quantistico di interesse sono intrinsecamente non-lineare ^ ma la non-linearità have a natural origin, eg coming from non-abelian Lie groups. sono di origine naturale, ad esempio, provenienti da gruppi di Lie abeliano-non. Moreover there is Inoltre non vi è usually some scaling or coupling parameter in the theory which in the limit relates to di solito qualche parametro di scala o di accoppiamento nella teoria che nel limite si riferisce a the classical theory. la teoria classica. Fundamental topological aspects of such a quantum field theory Fondamentali aspetti topologici di una tale teoria quantistica dei campi should be independent of the parameters and it is therefore reasonable to expect them dovrebbe essere indipendente dei parametri ed è quindi ragionevole aspettarsi che to be computable (in some sense) by examining the classical limit. di essere calcolabile (in un certo senso), esaminando il limite classico. This means that Ciò significa che such topological information is essentially robust and should be independent of the tali informazioni topologiche è essenzialmente robusto e deve essere indipendente dal fine analytical details (and difficulties) of the full quantum theory. bene i dettagli analitici (e difficoltà) della teoria quantistica completa. That is why it is Questo è il motivo per cui è not unreasonable to expect to understand these topological aspects before the quantum non irragionevole aspettarsi di capire questi aspetti topologici prima della quantistica field theories have been shown to exist as rigorous mathematical structures. teorie di campo hanno dimostrato di esistere come strutture matematiche rigorose. In fact, it In realtà, may well be that such topological understanding is a necessary pre-requisite to building Può anche darsi che tale comprensione topologica è un presupposto necessario per la costruzione the analytical apparatus of the quantum theory. l'apparato di analisi della teoria quantistica. My comments so far have been of a conventional kind, indicating that there may I miei commenti sono stati finora di tipo convenzionale, che indica che ci possono be interesting topological aspects of quantum field theories and that these should be essere interessante aspetti topologici delle teorie quantistiche di campo e che questi dovrebbero essere important for the relevant physics. importante per la fisica in questione. However, we can reverse the procedure and use Tuttavia, siamo in grado di invertire la procedura e l'uso these quantum field theories as a conceptual tool to suggest new mathematical results. queste teorie quantistiche di campo come strumento concettuale per suggerire nuovi risultati matematici. It is remarkable that this reverse process appears to be extremely successful and has È notevole che questo processo inverso sembra essere estremamente positivo e ha led to spectacular progress in our understanding ofgeometry in low dimensions. It is probably portato a progressi spettacolari nel nostro ofgeometry comprensione in dimensioni basse. Si tratta probabilmente di no accident that the usual quantum field theories can only be renormalized in (space- Non a caso i soliti teorie quantistiche di campo non può che essere in rinormalizzati (spazio- time) dimensions ^ 4, and this is precisely the range in which difficult phenomena arise tempo) dimensioni ^ 4, ed è proprio questo l'intervallo in cui i fenomeni sorgono difficile leading to deep and beautiful theories (eg the works of Thurston in 3 dimensions and conduce a profonde e belle teorie (ad esempio le opere di Thurston in 3 dimensioni e Donaldson in 4 dimensions). Donaldson in 4 dimensioni). It now seems clear that the way to investigate the subtleties of low-dimensional Sembra ormai chiaro che il modo di indagare le sottigliezze della bassa dimensionalità manifolds is to associate to them suitable infinite-dimensional manifolds (eg spaces collettori è di associare ad essi idonei collettori infinito-dimensionali (ad esempio spazi of connections) and to study these by standard linear methods (homology, etc.). di connessioni) e di studiare con questi metodi standard lineari (omologia, ecc.) In In other words we use quantum field theory as a refined tool to study low-dimensional altre parole che usiamo la teoria quantistica dei campi come uno strumento raffinato per studiare a bassa dimensionalità manifolds. collettori. Now quantum field theories have, because of the difficulties involved in cons- Ora le teorie quantistiche di campo hanno, a causa delle difficoltà di contro- tructing them, often been described axiomatically. tructing loro, spesso descritto assiomaticamente. This identifies their essential structural Questo identifica le loro strutturali essenziali
TOPOLOGICAL QUANTUM FIELD THEORIES Topologico teorie quantistiche di campo 177 177 features and postpones the question of their existence. caratteristiche, rinviando la questione della loro esistenza. We can apply the same approach, Possiamo applicare lo stesso approccio, at the topological level, and this leads us to formulate axioms for topological quantum a livello topologico, e questo ci porta a formulare assiomi per quantistica topologica field theories. These axioms are considerably simpler than for a full blown theory and teorie di campo. Tali assiomi sono notevolmente più semplici per una soffiata teoria completa e they have a certain naturality which makes them plausible objects of interest, independent hanno una certa naturalezza che li rende plausibile oggetti di interesse, indipendente of any physical interpretation. di ogni interpretazione fisica. In the next section I will therefore present a set of such axioms. Nella prossima sezione sarà quindi presente un insieme di assiomi del genere. Although I will Anche se io make a few comments on the physical background and notation, these can be ignored fare alcune osservazioni sullo sfondo fisica e la notazione, questi possono essere ignorati and the axioms treated as a basis for a rigorous mathematical theory. e gli assiomi trattata come una base per una teoria matematica rigorosa. In the third section I will enumerate the examples of theories, satisfying such Nella terza sezione voglio enumerare gli esempi di teorie in grado di soddisfare tali axioms, which are now known to exist. assiomi, che sono ora conosciuti per esistere. Much, though not all, of this has been rigorously Molto, anche se non tutti, questo è stato rigorosamente established by one method or another. istituito con un metodo o un altro. The history of these different theories is quite La storia di queste diverse teorie è abbastanza varied so it is certainly helpful to see them all as fitting into a common axiomatic varia ed è quindi utile vedere tutti come in un montaggio assiomatica comune framework. quadro. It will be clear how much this whole subject rests on the ideas of Witten. Sarà chiaro quanto questo tema tutto poggia sulle idee di Witten. In In formulating the axiomatic framework in § 2, I have also been following Graeme Segal formulare il quadro assiomatico al § 2, ho anche seguito Graeme Segal who produced a very similar approach to conformal field theories [10]. che ha prodotto un approccio molto simile alle teorie di campo conformi [10]. Finally it seems Infine, sembra appropriate to point out the major role that cobordism plays in these theories. opportuno sottolineare il ruolo importante che svolge nella cobordismo queste teorie. Thus Ren6 Così Ren6 Thorn's most celebrated contribution to geometry has now a new and deeper relevance. celebrato il contributo più Thorn alla geometria ha ora un nuovo e più profondo di pertinenza. 2. 2. Axioms for Topological Quantum Field Theories Assiomi di teorie quantistiche di campo topologiche Before embarking on the axioms it may be helpful to make a few comparisons Prima di intraprendere gli assiomi può essere utile per fare qualche confronto with standard homology theories. omologia con le teorie standard. We can describe such a theory as a functor F from Siamo in grado di descrivere una teoria come un F funtore da the category of topological spaces (or of pairs of spaces) to the category say ofA-modules, la categoria degli spazi topologici (o di coppie di spazi) per la categoria dire OFA-modules, where A is some fixed ground ring (commutative, with 1, eg A = Z, R or C). dove A è un anello di terra fisse (commutativa, con 1, ad esempio A = Z, R o C). This Questo functor satisfies various axioms including funtore soddisfa gli assiomi diversi tra cui (i) a homotopy axiom, described geometrically by using (I) un assioma omotopia, descritta geometricamente usando (< (< cylinders " X x I, cilindri "X x I, (ii) an additive axiom asserting that, for disjoint sums, F(Xi u Xg) = F(Xi) @F(X^. (Ii) un assioma additivo affermando che, per somme disgiunto, F (u Xi Xg) = F (Xi) @ F (X ^. Note that (ii) implies, for the empty set 0, Si noti che (ii) implica, per l'insieme vuoto 0, (ii)' F(0) = 0. (Ii) 'F (0) = 0. The theories we shall describe will be somewhat similar, but with the following Le teorie che descrivono sarà in qualche modo simili, ma con il seguente significant differences: differenze significative: a) they will be defined only for manifolds of a fixed dimension, a) saranno definiti solo per collettori di una dimensione fissa, b) the homotopy axiom is strengthened by replacing cylinders with general cobordisms, b) l'assioma omotopia è rafforzato sostituendo cilindri con cobordisms generale, c) the additive axiom is replaced by a multiplicative axiom, and correspondingly the c) l'assioma additivo è sostituito da un assioma moltiplicativo, e di conseguenza la empty set has value A rather than 0. insieme vuoto ha un valore piuttosto che A 0. Physically b) is related to relativistic invariance while c) is indicative of the quantum Fisicamente b) è legato alla invarianza relativistica, mentre c), è indicativo della quantistica nature of the theory. natura della teoria. sovra axiomousia assiomousiA topological quantum field theory (QFT), Un topologica teoria quantistica dei campi (QFT), in dimension d defined over a ground ring A, consists of the following data: in dimensione d definita su un terreno anello A, costituito dai seguenti dati: (A) A finitely generated A-module Z(S) associated to each oriented closed smooth (A) finitamente generati A-modulo Z (S) associato ad ogni buon orientato chiuso rf-dimensional manifold S, rf-dimensionale S collettore, (B) An element Z(M) e Z(3M) associated to each oriented smooth [d + 1)-dimensional (B) Un elemento Z (M) e Z (3M) associato ad ogni buon [orientate d + 1)-dimensionale manifold (with boundary) M. collettore (con bordo) M. These data are subject to the following axioms, which we state briefly and expand upon Questi dati sono soggetti alle seguenti assiomi, che abbiamo brevemente dello stato e estendere below: qui di seguito: (1) Z is functorial with respect to orientation preserving diffeomorphisms of S and M, (1) Z è funtoriale per l'orientamento preservare diffeomorfismi di S e M, (2) Z is involutory, ie Z^*) = Z(S)* where S* is S with opposite orientation and Z(S)* (2) Z è involutoria, cioè Z * ^) = Z (S) dove S * S * è con orientamento opposto e Z (S) * denotes the dual module (see below), denota il modulo duale (vedi sotto), (3) Z is multiplicative. (3) Z è moltiplicativa. We now elaborate on the precise meaning of the axioms. Ora approfondire il significato preciso di assiomi. (1) means first (1) significa prima that an orientation preserving diffeomorphism f: 2 -^S' induces an isomorphism che un orientamento preservare diffeomorfismo f: 2 - ^ S 'induce un isomorfismo Z(/) :Z(S) -> Z(S') and that Z{gf) = Z{g) Z(/) for g : S' -> 2". Also if/ extends Z (/): Z (S) -> Z (S ') e che Z (gf) = Z (g), Z (/) per g: S' -> 2 ". Anche se / si estende to an orientation preserving diffeomorphism M -> M', with ^M = S, 8M! per un orientamento preservare diffeomorfismo M -> M ', con ^ M = S, 8M! == 2', then == 2 ', poi Z(/) takes Z(M) to Z(M Z (/) prende Z (M) alla Z (M / / ). ). The meaning of (2) is clear when A is afield in which case Z(S) and Z(S)* are Il significato di (2) è chiaro quando A è lontano, nel qual caso Z (S) e Z (S) * sono dual vector spaces. spazi vettoriali duali. This is the most important case and, for physical examples A = C Questo è il caso più importante e, per gli esempi di fisica A = C (or perhaps R). (O forse R). However, there are interesting examples (see § 3) with A = Z. In this Tuttavia, ci sono esempi interessanti (vedi § 3) con A = Z. In questo case the relation between Z(S) and Z(S*) is like that between integer homology and caso la relazione tra Z (S) e Z (S *) è come quella tra interi e omologia cohomology. coomologia. The duality can be formalized by considering free chain complexes but La dualità può essere formalizzata considerando complessi della catena libera, ma we shall not pursue this in detail. Noi non persegue questo in dettaglio. Instead we shall take A to be afield and the case A = Z Invece ci prende una da lontano e il caso A = Z can essentially be replaced by the fields Q,, Zp. essenzialmente può essere sostituito dai campi Q,, ZP. The multiplicative axiom (3) asserts first that, for disjoint unions, L'assioma moltiplicativo (3) afferma anzitutto
TOPOLOGICAL QUANTUM FIELD THEORIES Topologico teorie quantistiche di campo 179 179 then we require: allora abbiamo bisogno di: (36) (36) Z(M)=<Z(Mi),Z(M2)> Z (M) = <Z(Mi),Z(M2)> where < , > denotes the natural pairing dove <,> indica l'abbinamento naturale Z(Si) ® Z(S3) ® Z(S3)* ® Z(22) -^ Z(Si) ® Z(2y. Z (Si) ® Z (S3) ® Z (S3) ® * Z (22) - ^ Z (Si) ® Z (2y. Note that when Sg = 0 so that M is the disjoint union of Mi and M^ then (36) Si noti che quando Sg = 0 in modo che M è l'unione disgiunta di Mi e M ^ poi (36) reduces to the obvious multiplicative requirement riduce alla moltiplicazione requisito ovvio (3c) (3c) Z(M) = Z(Mi) ® Z(Mg). Z (M) = Z (Mi) ® Z (Mg). Our multiplicative axiom, involving (36), is therefore a very strong axiom. It asserts Il nostro assioma moltiplicativo, con la partecipazione (36), è dunque un assioma molto forte. Afferma that Z(M) can be computed (in many different ways) by che Z (M) può essere calcolato (in molti modi diversi) da parte <( <( cutting M in half" along M taglio a metà "lungo any £3. qualsiasi £ 3. An equivalent way of formulating (36) is to decompose the boundary M into Un modo equivalente di formulare (36) è quello di scomporre il confine in M two components (possibly empty) so that due componenti (eventualmente vuoto) in modo che 9M = Si uS;; 9M = us SI;; then Z(M) e Z(So) allora Z (M) e Z (So) ill malato ®Z(Sl) == Hom(Z(So), Z(Si)). We can therefore view any cobor- ® Z (Sl) == Hom (Z (So), Z (Si)). Possiamo quindi osservare tutte cobor- dism M between Sg and S^ as inducing a linear transformation M DISM tra SG e S ^ di indurre una trasformazione lineare Z(M):Z(So)-^Z(Si). Z (M): Z (So) - ^ Z (Si). Axiom (36) asserts that this is transitive when we compose bordisms. Axiom (36) afferma che questo è transitivo quando abbiamo comporre bordisms. Note that the multiplicative axiom (3fl) shows that when S = 0, the vector Si noti che l'assioma moltiplicativo (3fl) mostra che quando S = 0, il vettore space Z(S) is idempotent. spazio Z (S) è idempotente. It is therefore zero or canonically isomorphic to the ground E 'pertanto pari a zero o canonicamente isomorfo a terra field A. To exclude the trivial case we should then add a non-triviality axiom campo A. Per escludere il caso banale dovremmo quindi aggiungere un assioma non-banalità (4a) (4a) Z(0) = A (for 0 the empty df-dimensional manifold). Z (0) = A (per 0 il df-dimensionale collettore vuoto). Similarly when M = 0 axiom (36) shows that Z(0) eA is an idempotent. Allo stesso modo in cui M = 0 assioma (36) mostra che Z (0) EA è un idempotente. To exclude Per escludere the trivial case Z(o) = 0 we impose il caso banale Z (o) = 0 si impongono (46) (46) Z(0) = 1 (for 0 the empty d + 1-dimensional manifold). Z (0) = 1 (per 0 + il vuoto d-dimensionale collettore 1). Again the multiplicative axiom in its cobordism guise clearly shows that, for a Anche in questo caso l'assioma moltiplicativo nella sua veste cobordismo mostra chiaramente che, per un cylinder S x I, the element cilindro S x I, l'elemento Z(S x I) eEnd(Z(S)) Z (S x I) eend (Z (S)) is an idempotent CT and more generally it acts as the identity on the subspace of Z(S) CT è un idempotente e più in generale, agisce come l'identità sul sottospazio di Z (S) spanned by all elements Z(M) with ^M = S. If we replace Z(S) by its image under attraversato da tutti gli elementi di Z (M) con ^ M = S. Se sostituiamo Z (S) per la sua immagine sotto the idempotent a it is easy to see that the axioms are still satisfied. il idempotente uno è facile vedere che gli assiomi sono ancora soddisfatti. Moreover, this new Inoltre, questa nuova theory contains essentially all the interesting information of the old one since elements teoria contiene sostanzialmente tutte le informazioni interessanti di quella vecchia in quanto elementi in the kernel of a play no real role. nel kernel di un non svolgono alcun ruolo reale. Thus it is reasonable to assume a = 1, ie to impose Quindi è ragionevole supporre a = 1, cioè di imporre a further non-triviality axiom: un assioma non-banalità di più: {4c) (4c) Z(SXI) is the identity. Z (SXI) è l'identità sovraxiomousia dedurre una elementare poche conseguenze dei nostri assiomi. Apply axiom (1) Applicare assioma (1) with M = M' = S x I and con M = M '= S x I e F : M -> M' F: M - M> ' a homotopy f^ of maps S -> S. We deduce the uno omotopia di mappe f ^ S -> S. Noi dedurre la homotopy invariance of Z(y) :Z(S) ->Z(S). omotopia invarianza di Z (y): Z (S) -> Z (S). This implies therefore that the group F(S) of components of the orientation preserving Ciò implica quindi che il gruppo F (S) dei componenti dell'orientamento preservare diffeomorphisms of S acts on Z(S). diffeomorfismi di atti S su Z (S). Next let us note that when M is a closed (d + 1)-dimensional manifold so that Avanti Notiamo che, quando M è un sistema chiuso (d + 1)-dimensionale collettore in modo che <?M = 0, then <? M = 0, allora Z(M) e Z(0) = A Z (M) e Z (0) = A is a constant (element of the ground field). è una costante (elemento del campo a terra). Thus the theory produces in particular Così la teoria produce, in particolare, invariants of closed {d + l)-manifolds. invarianti del chiuso (d + l)-varietà. Moreover if we cut M along Sinto two parts Mi, Mg Inoltre, se si tagliano M lungo Sinto due parti Mi, Mg so that we get two vectors in modo da ottenere due vettori Z(Mi)eZ(S), Z (Mi) eZ (S), Z(M2)eZ(Sr, Z (M2) eZ (Sr, then, as a special case of the multiplicative axiom (3^), we get poi, come un caso speciale del assioma moltiplicativo (3 ^), otteniamo Z(M) =<Z(Mi),Z(Ma)>. Z (M) = <Z(Mi),Z(Ma)>. Thus the invariant for a closed manifold can be computed in terms of such a decom- Così l'invariante per un collettore chiuso può essere calcolato in termini di una siffatta decomposizione position. posizione. If we view Z(M), for closed M, as a numerical invariant ofM, then for a manifold Se consideriamo Z (M), per la M chiuso, come un invariante numerico ofm, poi per un collettore with boundary we should think ofZ(M) e Z(^M) as a con bordo dovremmo pensare OFZ (M) e Z (^ M) come <c <C relative " invariant. The whole relativo "invarianti. Il tutto theory is then concerned with these invariants and their formal properties. teoria è quindi interessato a questi invarianti e le loro proprietà formali. If we form the product manifold SXS Se si forma il prodotto SXS collettore 1 1 by identifying opposite ends of the cylinder individuando estremità opposte del cilindro SXI then our axioms imply that SXI allora la nostra assiomi implicano che Z(S x S Z (S x S 1 1 ) = Trace(Id [ Z(S x I)) ) = Traccia ([Id Z (S x I)) ==dimZ(SXI). == DimZ (SXI). More generally letf: SXS be an orientation preserving diffeomorphism, and identify Più in generale IETF: SXS essere un orientamento preservare diffeomorfismo, e identificare opposite ends of SXI by f. This gives a manifold Sy and our axioms imply estremi opposti di SXI di F. Questo dà un collettore Sy e la nostra assiomi implicano Z(S/) = Trace Z(/) Z (S /) = Traccia Z (/) where Z(/) is the induced automorphism of Z(S). dove Z (/) è l'automorfismo indotto di Z (S). The observant reader will have noticed that our involutory axiom refers only Il lettore attento avrà notato che il nostro assioma involutoria si riferisce solo to reversing the orientation of the rf-dimensional manifolds S. Nothing has been said a invertire l'orientamento del-dimensionale collettori rf S. Nulla è stato detto so far about the effect of orientation reversal on the {d + 1)-dimensional manifolds M. finora circa l'effetto di inversione di orientamento sulla d + 1)-dimensionale collettori (M. In particular our axioms give no relation as yet between the invariants Z(M) and Z(M*) In particolare i nostri assiomi dare alcun rapporto ancora tra le invarianti Z (M) e Z (* M) for closed manifolds. per collettori chiusi. Such a relation may or may not exist depending on the theory Taleousia 8  
TOPOLOGICAL QJJANTUM FIELD THEORIES Teorie di campo topologiche QJJANTUM 181 181 (as we shall see in § 3). (Come vedremo in § 3). However, in many interesting cases there is such a relation. Tuttavia, in molti casi interessanti vi è una relazione del genere. This Questo depends on the additional assumption that our vector spaces Z(S) have a non-degenerate dipende dal presupposto che il nostro vettore di ulteriori spazi Z (S) hanno un non-degenere hermitian structure (relative to a conjugation on A). strutturousia hermitiana (relativamente a una coniugazione in A). This gives a natural isomorphism Questo dà un isomorfismo naturale Z(S)' -> Z(S) Z (s) '-> Z (S) where V denotes V with the conjugate action of A. We can now consider the extra dove V denota V coniugato con l'azione di A. Ora possiamo considerare l'extra hermitian axiom assioma hermitiana (5) (5) Z(M*) = Z(M). Z (* M) = Z (M). If 8M== S^ u Si so that Z(M) can be viewed as a linear transformation between Se 8M == S ^ u Si modo che Z (M) può essere visto come una trasformazione lineare tra hermitian vector spaces: spazi vettoriali hermitiana: Z(M):Z(So)^Z(Si), Z (M): Z (So) ^ Z (Si), then axiom (5) is equivalent to poi assioma (5) è equivalente a (5') (5 ') Z(M") is the adjoint of Z(M). Z (M ") è l'aggiunto di Z (M). In particular for a closed manifold M (5) asserts that the numerical invariant Z(M) In particolare per un collettore M chiuso (5) afferma che la numerico invariante Z (M) changes to its conjugate under orientation reversal. modifiche al suo coniugato sotto inversione di orientamento. Unless all values are real (fixed by A meno che tutti i valori reali (fissati dal conjugation) then these invariants can "detect" orientation. coniugazione), allora questi invarianti in grado di "rilevare l'orientamento". Note that for a manifold M with boundary S we can always form the double Si noti che per una varietà M con bordo S si può fare sempre il doppio M u^ M* which is a closed manifold. M u ^ M * che è un collettore chiuso. Axiom (5) shows that Axiom (5) mostra che Z(Mu^M*) = |Z(M)| Z (Mu * M ^) = | Z (M) | 2 2 where on the right we compute the norm in the hermitian (possibly indefinite) metric. dove a destra si calcola la norma nella hermitiana (possibilmente a tempo indeterminato) metrica. These axioms can be modified in various important ways and this is necessary Tali assiomi possono essere modificati in vari modi importanti e ciò è necessario for many of the interesting examples. per molti degli esempi interessanti. Let me briefly indicate the kind of modification Vorrei brevemente indicare il tipo di modifica that can be incorporated. che può essere accolto. (1) the vector spaces Z(S) may be mod 2 graded with appropriate signs then inserted, (1) il vettore spazi Z (S), possono essere classificati mod 2 appositi segnali quindi inserito, (2) the manifolds S, M may carry more structure, eg a spin structure, a framing or (2) i collettori S, M può portare più la struttura, ad esempio, una struttura di spin, una cornice o some distinguished homology classes, alcune classi di omologia distinto, (3) one can consider a (3) si può considerare un (< (< relative " theory for a pair X^_yC S^ consisting of S and a relativo "teoria per un paio _yC X ^ S ^ S e costituito da uno submanifold X. This will have to couple together topological QFTs in dimensions d sottovariet X. Questo dovrà coppia insieme TQC topologici in dimensioni d and d — r, e d - r, (4) we might want to allow 2^ to have a boundary: this is closely related to (3) above (4) si può desiderare che 2 ^ di avere un limite: questo è strettamente legato al (3) sopra with r = 1. con r = 1. A more serious modification is Una modifica più grave è (5) allow Z(S) to be infinite-dimensional. (5) permettono Z (S) per essere infinito-dimensionale. The axioms in this case certainly need significant changes. Gli assiomi in questo caso certamente bisogno di cambiamenti significativi. For example certain quantities Ad esempio alcuni quantitativi become infinite (eg Z(SXS diventare infinito (ad esempio, Z (SXS 1 1 ) = dimZ(S)). ) = DimZ (S)) essere-essente topologico. For example conformal field theories are clearly Ad esempio le teorie di campo conformi sono chiaramente related to the ideas here (see § 3). legate alle idee qui (vedi § 3). So far in this section we have deliberately refrained from attempting to describe Finora in questa sezione abbiamo volutamente evitato di cercare di descrivere the physical interpretation or terminology (except for the acronym QFT). l'interpretazione fisica o terminologia (ad eccezione del QFT acronimo). This was Questo è stato meant to emphasize the mathematical nature of the presentation in order to encourage proteso a sottolineare la natura matematica della presentazione al fine di incoraggiare mathematicians to take these ideas seriously. matematici di prendere sul serio queste idee. However, we should now rectify the situation Tuttavia, ora dovremmo porre rimedio alla situazione by briefly indicating the physical background. da indica brevemente il contesto fisico. S is meant to indicate the physical space (eg d = 3 for standard physics) and S sta ad indicare lo spazio fisico (ad esempio, d = 3 per la fisica standard) e the extra dimension in S x I is la dimensione extra in S x I è (< (< imaginary " time. The space Z(S) is the Hilbert immaginario "di tempo. Lo spazio Z (S) è il Hilbert space of the quantum theory and a physical theory, with a Hamiltonian H, will have spazio della teoria quantistica e la teoria fisica, con un Hamiltoniana H., avrà an evolution operator ^ una evoluzione operatore ^ <H <H or an "imaginary time " evolution operator e'^. The main o un "tempo immaginario" operatore di evoluzione e '^. Il principale feature of topological QFTs is that H = 0, which implies that there is no real dynamics caratteristica di TQC topologica è che H = 0, il che implica che non vi è la dinamica reale or propagation, along the cylinder S x I. However, there can be non-trivial "propa- ovvero la propagazione, lungo il cilindro S x I. Tuttavia, non ci può essere non banale "propaganda- gation " (or tunneling amplitudes) from Sg to S^ through an intervening manifold M gazione "(o tunneling ampiezze) da SG a S ^ M intervenendo attraverso un collettore with SM == 2^ u Sp this reflects the topology of M. con == 2 ^ u SM Sp ciò riflette la topologia di M. If 8M. == S, then the distinguished vector Z(M) in the Hilbert space Z(2) is Se 8M. == S, allora l'illustre vettore Z (M) nello spazio di Hilbert Z (2) thought of as the vacuum state defined by M. For a closed manifold M the number Z(M) pensato come stato di vuoto definito da M. Per un collettore di M chiuso il numero Z (M) is the vacuum-vacuum expectation value. è l'aspettativa di vuoto-vuoto di valore. In analogy with statistical mechanics it is In analogia con la meccanica statistica è also called the partition function. chiamata anche la funzione di partizione. The reader may wonder how a theory with zero Hamiltonian can be sensibly Il lettore può chiedersi come una teoria con zero hamiltoniano può essere ragionevolmente formulated. formulato. The answer lies in the Feynman path-integral approach to QFT. La risposta si trova nel percorso di approccio integrale alla Feynman QFT. This Questo incorporates relativistic invariance (which caters for general {d + 1)-dimensional "space- incorpora invarianza relativistica (che approvvigiona per generale (d + 1)-dimensionale "spazio- times ") and the theory is formally defined by writing down a suitable Lagrangian—a tempi ") e la teoria è definito formalmente da scrivere un idoneo Lagrangiana-a functional of the classical fields of the theory. funzionale dei campi classici della teoria. A Lagrangian which involves only first Una Lagrangiana che coinvolge solo i primi derivatives in time formally leads to a zero Hamiltonian, but the Lagrangian itself may derivati nel tempo conduce formalmente ad uno zero hamiltoniano, ma la Lagrangiana può have non-trivial features which relate it to the topology. hanno caratteristiche non banali che riguardano la topologia. For a fuller understanding of topological QFTs from the physical view-point the Per una migliore comprensione della TQC topologica dal punto di vista fisico la reader should consult the papers of Witten on the subject. lettore potrà consultare le carte del Witten in materia. 3. 3. Examples Esempi We shall list a number of interesting examples of topological QFTs in dimensions Ci elencano una serie di interessanti esempi di TQC topologici nelle dimensioni rf^ 3. rf ^ 3. The description will inevitably be brief and it should be emphasized that there La descrizione sarà inevitabilmente breve e va sottolineato che non vi are many points that have yet to be fully investigated in some of these theories. sono molti punti che devono ancora essere controllato a fondo in alcune di queste teorie. Some Alcuni parts exist in a fully rigorous mathematical sense while other parts have as yet only parti di esistere in un rigoroso senso matematico completamente, mentre altre parti sono ancora solo been treated formally. stati trattati formalmente. Nevertheless the general picture is very convincing and there Tuttavia il quadro generale è molto convincente e non ci seems little doubt that the essential features are correct. dubbio che le caratteristiche essenziali sono corrette. Naturally the theories in general increase in difficulty with the dimension rf. Naturalm-ente TOPOLOGICAL QUANTUM FIELD THEORIES Topologico teorie quantistiche di campo 183 183 (3.0) d= 0 (3.0) d = 0 Space S now consists of finitely many (say n) points. Lo spazio S è attualmente composto da un numero finito (diciamo n) punti. To a single point we must Per un unico punto dobbiamo associate a vector space V = Z (point), and to n points we associate the n'fold tensor associare uno spazio vettoriale V = Z (punto) e ai punti n associamo il tensore n'fold product: V prodotto: V 0n 0n = V ® V ® . = V ® V ®. . . . . ® V . V ®. The symmetric group S^ (diffeomorphisms of n points) Il gruppo simmetrico S ^ (diffeomorfismi di punti n) then acts on V agisce quindi su V 0n 0n . . Thus the classical theory of representations of S^ appears as a basic Così la teoria classica delle rappresentazioni della S ^ appare come una base ingredient in theories for d = 0. ingrediente di teorie per d = 0. The question now arises as to the origin of the vector space V, the Hilbert space La questione si pone ora come l'origine di spazio vettoriale V, lo spazio di Hilbert of the quantum theory. della teoria quantistica. A standard way to get the quantum Hilbert space is first to Un modo standard per ottenere il Hilbert spazio quantico è il primo ad give a classical symplectic manifold (or phase space) and then to quantize this. dare un simplettica collettore classica (o fase spazio) e poi per quantizzare questo. In par- In par- ticular an interesting class of examples arise from compact Lie groups G and their homo- colare una classe di esempi interessanti derivano da gruppi di Lie compatto G e la loro omo- geneous symplectic manifolds; these are co-adjoint orbits, generically copies of the flag omogeneo varietà simplettiche, che sono co-adjoint orbite, genericamente copie della bandiera manifold. molteplici. If we take Se prendiamo (< (< integral" orbits for which the symplectic structure comes from integrale "orbite per le quali la struttura simplettica viene da a line-bundle, then quantizing leads to the irreducible representations V of G. This un fascio di linea, poi porta alla quantizzazione rappresentazioni irriducibili V di G. Questo is the physical interpretation of the Borel-Weil theorem which is usually formulated è l'interpretazione fisica del teorema di Borel-Weil che di solito è formulata in algebraic-geometric language. in linguaggio algebrico-geometrica. The Lagrangian of these theories is the classical action La lagrangiana di queste teorie è l'azione classica (holonomy of the line-bundle). (Olonomia del fascio-line). Thus topological QFTs with d = 0 arise naturally in relation to classical repre- Così TQC topologico con d = 0 sorgono naturalmente in relazione alla classica rappre- sentation theory of Lie groups and the symmetric group. sentation teoria dei gruppi di Lie e del gruppo simmetrico. In this low dimension there In questa dimensione basso ci is no interesting topology, only quantum symmetries. non è topologia interessante, simmetrie quantistiche solo. (3.1) d== 1 (3.1) d == 1 There are two rather different types of theory in this dimension, both of which Ci sono due tipi diversi di teoria piuttosto in questa dimensione, entrambi are linked to the Lie group theories in dimension zero. sono legati a teorie di Lie del gruppo di dimensione pari a zero. We describe these in turn. Descriviamo queste a loro volta. a) FloerlGromov theory a) FloerlGromov teoria Here the classical phase space consists of paths, in a compact symplectic manifold X, Qui la spazio delle fasi classico è costituito da sentieri, in un collettore di simplettica compatta X, with appropriate boundary conditions. con condizioni al contorno appropriate. To fit the formal framework we set up in § 2 Per montare il quadro formale che abbiamo istituito nel § 2 we should consider periodic boundary conditions given by closed loops in X. Holonomy dobbiamo considerare le condizioni al contorno periodiche data da circuiti chiusi in X. olonomia round such loops, used in (3.0) as a Lagrangian, is now used to modify the Hamiltonian tondo loop tale, usato in (3.0) come Lagrange, è ora utilizzato per modificare la hamiltoniana as in Witten [11]. come in Witten [11]. For a closed surface M the invariant Z(M) of the theory is the number Per una superficie chiusa M il invariante Z (M) della teoria è il numero of pseudo-holomorphic maps M -> X in the sense of Gromov [5] (eg they are ordinary di mappe olomorfe pseudo-M -> X, nel senso di Gromov [5] (ad esempio, si ordinarie holomorphic maps if X is a Kahler manifold). Mappe olomorfe se X è una varietà Kahler). If this number is infinite, ie if there are Se questo numero è infinito, cioè se ci sono " moduli ' "Moduli ' 5 5 , then we must fix further data on M. This can be done by picking some , Allora dobbiamo fissare ulteriori dati sul M. Questo può essere fatto prendendo alcuni points P, and then looking at holomorphic maps /:M —>• X with /(P,) constrained to punti P, e poi guardando le mappe olomorfe /: M -> • X con / (P,), costretti a lie on a fixed hyperplane. giacciono su un iperpiano fisso. Witten [14] has written down the relevant Lagrangian for this theory. Witten [14], ha scritto la lagrangiana rilevante per questa teoria. Floer [3] Floer [3] has given a rigorous treatment, based on Witten's Morse theory ideas, for the case when ha dato una trattazione rigorosa, basata sulla teoria di Morse idee di Witten, per il caso in cui the boundary conditions are not periodic but instead require the initial and end-points le condizioni al contorno non sono periodiche, ma invece richiedono l'iniziale e end-point of paths to lie on two fixed Lagrangian sub-manifolds. di percorsi di mentire su due fisse Lagrangiana sub-varietà. This is a case when Sis an interval, Questo è un caso se Sis un intervallo, rather than a circle, and is a modification of the type (4) above. piuttosto che un cerchio, ed è una modifica del tipo (4) di cui sopra. The Floer theory is La teoria è Floer naturally Mod 2 graded and is defined over the integers. naturalmente Mod 2 classificate e viene definito nel corso degli interi.Topological QFTs in our sense since they depend on a complex Questi non sono strettamente topologico TQC nel nostro senso poiché dipendono da un complesso structure, and the Hilbert spaces are infinite-dimensional. struttura e gli spazi di Hilbert sono di dimensione infinita. However, they are closely Tuttavia, essi sono strettamente related to topological QFTs. relative al TQC topologica. They have been axiomatized by GB Segal [10] and, Sono stati assiomatizzata GB Segal [10] e, as mentioned in § 1, his axioms motivated our version. di cui al § 1, i suoi assiomi motivato la nostra versione. There are conformal field theories related to compact Lie groups G in which Ci sono teorie di campo conformi correlate a gruppi di Lie compatto G in cui the classical phase space consists of co-adjoint orbits of (a central extension of) the loop spazio delle fasi classico è costituito da co-adjoint orbite di (centrale di una estensione) del ciclo group LG. gruppo LG. Quantizing these produces the Hilbert spaces of the theory as irreducible Quantizzazione questi produce gli spazi di Hilbert della teoria come irriducibile (projective) representations of LG. (Proiettivo) rappresentazioni di LG. The whole theory is very similar to that in (3.0). L'intera teoria è molto simile a quella in (3.0). The group Diff^.(S Il gruppo Diff ^. (S 1 1 ) now substitutes for the symmetric group and plays an important ) Ora sostituisce il gruppo simmetrico e svolge un importante role (see [9] for details). ruolo (si veda [9] per i dettagli). The partition function in such theories depends on complex La funzione di partizione in tali teorie dipende da complesse structures: it is not purely topological. strutture: non è puramente topologica. (3.2) d=2 (3.2) d = 2 There are a number of similar theories in this dimension. Ci sono una serie di teorie simili in questa dimensione. We begin with perhaps Iniziamo con forse the most interesting and well-developed theory. l'interessante e ben sviluppata teoria più. a) fonesI Witten theory [12] a) teoria fonesI Witten [12] Here the classical phase space, associated to a closed surface S, is the moduli space Qui lo spazio fase classica, associato ad una superficie chiusa S, è lo spazio dei moduli of flat G-bundles over S. The Lagrangian is an integer multiple of the Chern-Simons di appartamento G-fibrati su S. La lagrangiana è un multiplo intero di Chern-Simons function of a G-connection on a 3-manifold (which has to be "framed "). funzione di una connessione su un G-3-varietà (che deve essere "incorniciata"). The integer Il numero intero multiple k, called the level, is a parameter of the theory and k -> oo gives the classical limit. k multiple, come il livello, è un parametro della teoria e k -> oo fornisce il limite classico. This theory can be naturally coupled with the d == 0 theory to produce a Questa teoria può essere naturalmente insieme al d == 0 a produrre una teoria c< c < relative " relativa " theory of the type indicated at the end of§2. teoria del tipo indicato alla fine del § 2. The details have been developed by Witten I dettagli sono stati sviluppati da Witten who shows that the partition function for a (framed) link in the 3-sphere is just the value che mostra che la funzione di partizione per un (incorniciata) link nella sfera-3 è solo il valore of the Jones polynomials [8] for a suitable root of unity. dei polinomi di Jones [8] per una radice adeguato di unità. The theory can be defined over La teoria può essere definita su the relevant cyclotomic field. il ciclotomici settore in questione. Instead of coupling the d = 2 theory to d = 0 we can couple it to the d = 1 Invece di accoppiamento della teoria d = 2 per d = 0 possiamo coppia al d = 1 conformal theory in b) above, by considering Riemann surfaces with boundary. teoria conforme punto b), considerando le superfici di Riemann con bordo. b) Casson theory b) Casson teoria Here the Qui l' <c <C Hilbert" spaces of the theory are essentially the homology of the moduli Hilbert "spazi della teoria sono essenzialmente l'omologia dei moduli spaces of flat G-bundles over S (whereas in the Jones/Witten theory one takes a holo- spazi di appartamento G-fibrati su S (mentre nel Jones / una Witten prende una Holo- morphic analogue). analogici morfica). The theory is mod 2 graded and the hermitian forms are indefinite La teoria è mod 2 classificati e le forme hermitiane sono indefiniti (being given by Poincar^ duality). (Essere data dalla dualità Poincar ^). Witten has recently written down a Lagrangian Witten ha recentemente scritto una lagrangiana for this Casson theory. per questa teoria Casson. The invariant Z, for homology 3-spheres is the original Gasson L'invariante Z, per omologia di 3 sfere è l'originale Gasson invariant. invariante. The theory is defined over the integers. La teoria è definita sugli interi. As yet there are details, related to Al momento non ci sono i dettagli, relativi alla the singularities of the moduli-spaces, which have not been fully worked out. la specificità della spazi di moduli-, che non sono stati completamente risolti. c) Johnson theory c) teoria Johnson Recently D. Johnson [7] has developed a theory imitating Gasson, but using Recentemente D. Johnson [7] ha sviluppato una teoria che imita Gasson, ma usando Reidemeister torsion as an essential ingredient. torsione Reidemeister come un ingrediente essenziale. Witten [16] has shown that Johnson's Witten-TOPOLOGICAL QUANTUM FIELD THEORIES Topologico teorie quantistiche di campo 185 185 theory can be explained as a topological QFT for a Chern-Simons Lagrangian. teoria può essere spiegata come un QFT topologica per una lagrangiana Chern-Simons. However, Tuttavia, the group involved is not a compact Lie group G but the semi-direct product IG of G il gruppo non è coinvolto un gruppo di Lie compatto G, ma il prodotto semi-diretto IG di G with its Lie algebra (viewed simply as abelian group). con la sua algebra di Lie (vista semplicemente come gruppo abeliano). The classical phase space is the Lo spazio è la classica fase moduli space of flat IG-bundles and is not compact, so that the Hilbert spaces of spazio dei moduli di appartamento IG-bundle e non è compatto, in modo che gli spazi di Hilbert this theory are not finite-dimensional. questa teoria non sono a dimensione finita. Thus the partition function may sometimes be Così la funzione di partizione può essere talvolta infinite. infinito. d) " Thurston " theory d) "" teoria Thurston Witten has recently considered [15] a Ghern-Simons theory for the non-compact Witten ha recentemente ritenuto [15] a-Simons teoria Ghern per la non-compatto group SL(2, C) in relation with gravitational theories in (2 + 1)-dimensions, and hence gruppo SL (2, C) in relazione con le teorie gravitazionali in (2 + 1)-dimensioni, e quindi with hyperbolic 3-manifolds. con 3-varietà iperboliche. This should make contact with Thurston's work in due Ciò dovrebbe rendere il contatto con l'opera a tempo debito Thurston course. del corso. The classical phase space is again the (non-compact) moduli space of flat Spazio delle fasi classico è ancora il (non compatto) spazio dei moduli di appartamento SL(2, C) bundles over a surface S. The Hilbert spaces are again infinite-dimensional. SL (2, C) fasci su una superficie S. Gli spazi di Hilbert sono di nuovo infinito-dimensionale. Remark. Nota. — Moduli spaces of flat SL(2, C) bundles (and their generalizations) have - Spazi di moduli di appartamento SL (2, C) mazzi (e loro generalizzazioni) hanno been considered in a remarkable paper by NJ Hitchin [6]. stata considerata in un documento di notevole da NJ Hitchin [6]. Hitchin shows that this Hitchin mostra che questa moduli space is naturally fibered by Abelian varieties and that the moduli space of flat spazio dei moduli è naturalmente fibered da varietà abeliane, e che lo spazio dei moduli di appartamento SU(2)-bundles appears as a component of the most degenerate fibre. SU (2)-bundle appare come una componente del più degenere fibra. On the basis of Sulla base di Hitchin's paper it seems likely that all the theories described in this sub-section can, la carta Hitchin sembra probabile che tutte le teorie descritte in questa sezione sub-può, in a sense, be reduced to the abelian case. in un certo senso, essere ridotto al caso abeliano. This is now being investigated and should Questo è ora oggetto di indagine e dovrebbe have major consequences. avere conseguenze importanti. (3.3) d== 3 (Floer IDonaldson theory) (3.3) d == 3 (Floer teoria IDonaldson) Donaldson [2] has defined integer invariants of smooth 4-manifolds by using Donaldson [2] ha definito intero invarianti di liscio 4-varietà utilizzando moduli spaces of SU(2)-instantons. spazi di moduli di SU (2)-istantoni. These invariants are polynomials on the second Questi sono polinomi invarianti al secondo homology. omologia. Thus we should consider 4-manifolds with extra data (consisting of an element Quindi dovremmo considerare 4-varietà con dati aggiuntivi (che consiste di un elemento of the symmetric algebra ofHg). del ofHg algebra simmetrica). Witten [13] has produced a super-symmetric Lagrangian Witten [13] ha prodotto un super-simmetrica lagrangiana which formally reproduces the Donaldson theory. che riproduce formalmente la teoria Donaldson. Witten's formula can be understood Formula di Witten può essere compresa as an infinite-dimensional analogue of the Gauss-Bonnet theorem (as I shall explain come un infinito-dimensionale analogo del teorema di Gauss-Bonnet (come spiegherò elsewhere). altrove). The Hamiltonian version of the theory has been developed by Floer [4] in terms La versione hamiltoniana della teoria è stato sviluppato da Floer [4] In termini of the space of connections on a 3-manifold. dello spazio di connessioni su una 3-varietà. Floer uses the Chern-Simons function (the Floer utilizza la funzione di Chern-Simons (il Lagrangian of the Jones/Witten theory) to modify the Hamiltonian (see the remarks Lagrangiana della Jones / Witten) per modificare l'Hamiltoniana (cfr. le osservazioni in (3.1) a)). The abelian groups he defines have a mod 2 grading. in (3.1) a)). I gruppi abeliani egli definisce un mod 2 classificazione. I have described this Floer/Donaldson theory at greater length in [1]. Ho descritto questa Floer / teoria Donaldson più diffusamente in [1]. Here I Qui just wish to emphasize that it formally fits some version of the axioms of § 2 and that semplicemente desidera sottolineare che si inserisce formalmente qualche versione degli assiomi del § 2 e che there is a Lagrangian formulation. vi è una formulazione lagrangiana. This theory is defined over the integers. It does not satisfy any axiom of type (5) Questa teoria è definita sugli interi. Esso non risponde ad alcun assioma del tipo (5) of § 2. del § 2. The Donaldson invariants of a 4-manifold with its two different orientations Le invarianti di Donaldson di un 4-varietà con i suoi due diversi orientamenti have no obvious relation to each other. non hanno alcuna relazione evidente tra loro. Instantousia-Witten [14] ha anche dimostrato come si possa abbinare il d = 3 e d = 1 teorie together: this is quite analogous to the coupling between d == 2 and d == 0 in the Jones insieme: questo è del tutto analoga a quella di accoppiamento tra D e D == 2 == 0 nel Jones theory. teoria. Conclusion. Conclusione. — These examples, which have natural geometric origins, and cover - Questi esempi, che hanno origini naturali geometriche, e la copertura many of the most interesting topics in low-dimensional geometry show that topological molti degli argomenti più interessanti in geometria tridimensionale show-basso che topologica QFTs have real relevance to geometry. TQC hanno un'effettiva rilevanza alla geometria. There are still many technical problems to Ci sono ancora molti problemi tecnici be solved (eg the Gasson invariant has so far only been treated for G = SU(2)) and essere risolte (ad esempio l'invariante Gasson finora solo stati trattati per G = SU (2)) e there are many intriguing questions. Ci sono molte domande intriganti. For example the Ghern-Simons function appears Per esempio la funzione-Simons Ghern appare in both d == 2 and d == 3 theories, but playing quite a different role each time. in entrambi d == 2 e D == 3 teorie, ma giocare un ruolo assai diverso Matematica  PRESSLEYWITTEN, Super-symmetry and Morse theory, J . [11] E. WITTEN, Super-simmetria e la teoria di Morse, J. Diff. Diff. Geom., 17 (4) (1982), 661-692. Geom., 17 (4) (1982), 661-692. [12] E. WITTEN, Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm. [12] E. WITTEN, Teoria quantistica dei campi e il polinomio di Jones, comm. Math. Math. Phys. (to appear). Phys. (Apparire). [13] E. WITTEN, Topological quantum field theory, Comm. [13] E. WITTEN, topologiche teoria quantistica dei campi delle equazioni differenziali e derivate partielles constitue l'un des objets essentiels de l'analyse dite classique. parziale è uno degli oggetti principali di analisi chiamato classico. On Noi sait les difficultés présentées par cette étude, même si l'on se restreint à des conosce le difficoltà presentate da questo studio, anche se ci si limita a problèmes purement locaux d'existence et d'unicité. puramente problemi locali di esistenza e unicità. Assez paradoxalement, Paradossalmente, les inéquations différentielles et aux dérivées partielles ne semblent pas disequazioni differenziali alle derivate parziali e non sembra avoir attiré de façon systématique l'attention des analystes. hanno sempre attirato l'attenzione di analisti. C'est qu'ici le Qui è la problème ne soulève plus de difficultés locales, mais bien au contraire des problema non si pone problemi locali, ma a differenza difficultés globales. difficoltà a livello mondiale. A ce titre, ces problèmes semblent d'un gros intérêt Come tali, questi problemi sembrano un grande interesse pour le topologue, qui sera tenté d'y appliquer ses méthodes. per topologo, che saranno tentati di applicare i suoi metodi. D'ailleurs, Inoltre, comme le montreront de nombreux exemples, la plupart des problèmes come dimostrano numerosi esempi, la maggior parte dei problemi rencontrés en géométrie différentielle globale sont de ce type. incontrate nella geometria differenziale globale sono di questo tipo. J'ajouterai de Aggiungerò plus que les problèmes les plus simples qu'on puisse imaginer dans cette più problemi di quanti più semplice si possa immaginare in questo direction n'ont pas de solution évidente; les considérations qui suivent, gestione non hanno soluzione chiara, e le seguenti considerazioni, sans viser à une solution générale d'ailleurs peut-être chimérique, n'ont senza vista di una soluzione generale può infatti essere chimerico, hanno pas d'autre ambition que de déblayer quelque peu un terrain encore mal altra ambizione che quella di chiarire alcuni terreni ancora male connu. conosciuto. 2. 2. Un problème typique. Un problema tipico. — Soient JT, Y deux variétés différentiables, - Let JT, Y due collettori, X variété-source, Y variété-but, dans la terminologie de G. X-source varietà, Y-range obiettivo, secondo la terminologia di G. EHRESMANN. Ehresmann. Soit J^X, Y) le fibre des jets d'ordre r de X dans Y, (a, b) la projection Sia J ^ X, Y) il fascio di getti di ordine r di X in Y (a, b) la proiezione canonique de J'\X, Y) sur XX Y. On se donne un ouvert 0 de J'^X, Y) canonica J '\ X, Y) sul XX Y. Daremo un open 0 J' ^ X, Y) dont la projection sur X x Y par (a, b) recouvre tout le produit XX Y. la cui proiezione su X x Y (a, b), riguarda l'intero prodotto XX Y Soient L une sous-variété de JT, / une application de X dans Y donnée Sia L una sottovariet di JT, una mappatura da X a Y dato sur L,  R. R. THOM. Thom. l'ouvert (0). Est-il possible d'étendre l'application/de L à tout ^T, de telle open (0). E 'possibile estendere l'applicazione / L a tutti ^ T, ad esempio façon que, en tout point x ç. in modo che in qualsiasi punto x C. X^ f^^x} soit dans (0)? X ^ ^ f ^ x) è in (0)? Citons deux cas particuliers : Di seguito sono riportati due casi speciali: a. Problème « type Dirichlet » : X est une boule B a. Problema "Dirichlet" X è una palla B 11 11 ^ de bord S ^ S bordo n n = L. = L. b. b. Problème type « Cauchy » : JT== un demi-espace 7?" Tipo di problema "Cauchy" JT == mezzo spazio 7? " 4 4 " " 1 1 , Z son bord 7?^. Z bordo 7? ^. Dans la pratique, l'ouvert (0 ) sera défini par une (ou plusieurs) inéqua- In pratica, l'open (0) è definito da uno (o più) iniquo tions de la forme G(x^ y^ ()' zioni della forma G (x ^ ^ y () ' n n yj/ôxi^x^ . yj / ^ x ^ Oxi. . . . x^) < o, (m^r) où G est . X ^) <O (m ^ r) dove G è une fonction différentiable par rapport aux coordonnées Xi de ^T, y y de J^, una funzione derivabile rispetto alle coordinate Xi T ^, y J ^ y, et leurs dérivées partielles. e le loro derivate parziali. On remarquera que les deux situations typiques apparues dans la théorie Si noti che le due situazioni tipiche sorti in teoria des équations aux dérivées partielles : Problème de Dirichlet, Problème de di equazioni differenziali alle derivate parziali: problema di Dirichlet, problema Cauchy, correspondent à deux situations non moins typiques en topologie : Cauchy, corrispondono a due situazioni tipiche della topologia ugualmente: l'extension d'une application du bord d'une boule à la boule toute entière l'estensione di una domanda dal bordo di una palla al ballo nel suo insieme conduit directement à la définition des groupes d'homotopie; la figure du ha portato direttamente alla definizione dei gruppi di omotopia, la figura di problème de Cauchy est — à peu près — celle qui joue un rôle fondamental problema di Cauchy è - quasi - uno che gioca un ruolo fondamentale dans le « relèvement des homotopies » ainsi que dans l'axiome de Kan des nel "homotopies superiori" così come in l'assioma di Kan complexes semi-simpliciaux. -Complesso simpliciale semi. Peut-être y faut-il voir plus qu'une coïncidence. Forse dovremmo vedere più di una coincidenza. 3. 3. Exemples de problèmes. Esempi di problemi. i° Soient ^T, Y deux variétés différenliables compactes de dimension /?, i. Sia T ^, Y dimensionale compatto varietà-due différenliables /?, connexes, et simplement connexes, on se propose de trouver une application connessi semplicemente connesso, si propone di trovare una domanda / de X sur V, dont le jacobien ne s'annule nulle part; dans ce problème, la / X su V, il cui Jacobiano sparisce da nessuna parte in questo problema, la sous-variété L de X est vide, l'ouvert (0) est le complémentaire dans L sottovariet di X è vuota, la open (0) è il complemento in J'(^T, Y) des jetsde rang ^n— i. J '(^ T, Y) di rango jetsde ^ n-i Il est clair que, si l'on savait résoudre Chiaramente, se si sapeva risolvere ce problème, on saurait décider si les variétés Â^ Y sont ou non difféo- questo problema, possiamo decidere se le varietà a ^ Y sono non-difféo morphes : ceci suffira à donner une idée de la difficulté du problème général. morphs: questo sarà sufficiente a dare un'idea della difficoltà del problema generale. 2° Soit f une fonction numérique donnée au voisinage du bord S"- de la 2 Sia f una funzione reale dato vicino al confine S "- il boule 7?" 7 palla? " 4 4 " " 1 1 telle que la différentielle df n'est pas nulle dans un voisinage tale che il differenziale df non è zero, in un quartiere de S"-. Peut-on étendre cette fonction à B^ S "-. Possiamo estendere questa funzione a B ^ 1 1 sans que la différentielle df senza il differenziale df s'annule? svanisce? 3° Un problème analogue, signalé par H. 3 Un problema analogo, segnalato da H. HOPF : caractériser tous les Hopf: caratterizzare tutti lacets du plan 7? lacci Piano 7? 2 2 qui sont bords d'un disque D étalé dans 7?' bordi che si sviluppa su un disco D 7? " 2 2 . Même pro- . Anche pro- blème sur S' problema su S ' 1 1 immergée dans /? immerso in /? 714 714 '. '. 4° Existence sur une variété V"- d'une forme de Pfaff de rang maximum. 4 esistenza di una varietà V "- una forma di pieno rango Pfaff. Tous ces problèmes ont un trait commun : ils sont « intrinsèques », ce Tutti questi problemi hanno una cosa in comune: sono "intrinseca", questo qui veut dire que leur énoncé ne nécessite pas le choix de coordonnées il che significa che la loro affermazione non richiede la scelta delle coordinate particulières, ou encore, qu'ils sont invariants par difféomorphismes de la speciale, o sono invarianti sotto diffeomorfismi di source et du but. origine e scopo. En ce cas, l'ouvert (0) des jets permis est invariant sous In questo caso, il sistema open (0) getti permesso è invariante  fibre, l'ensemble des jets exclus forme une orbite sous In ogni fibra, tutti i getti esclusi sotto forma di un'orbita l'action du groupe L' (n) x D^p)^ ce qui, on l'a va, exclut des singularités Il gruppo di azione '(n) x D ^ p) ^ che, stava andando, esclude singolarità d'un certain type. un certo tipo. De ce point de vue, même si un problème d'inéquations différentielles Da questo punto di vista, anche se un problema di disuguaglianze differenziali n'est pas intrinsèque, il n'est pas inutile, en général, de définir le plus petit non è intrinseca, è utile, in generale, per definire i più piccoli système intrinsèque le contenant. contenitore intrinseca del sistema. De ce fait, on exclut parfois des singula- Così, a volte si esclude singolarità- rités d'un certain type. autorità di un certo tipo. Mais, par ailleurs, la topologie nous enseigne que Ma, del resto, ci insegna che la topologia toute solution doit présenter des singularités; par exemple, les inégalités qualsiasi soluzione deve essere singolarità, per esempio, la disuguaglianza de M. MORSE impliquent l'existence de points critiques d'un certain index Mr. MORSE implicano l'esistenza di punti critici di un determinato indice pour « presque toute solution » ; si une contradiction apparaît, on pourra en per "quasi ogni soluzione" se appare una contraddizione, si può in conclure à l'inexistence d'une solution globale générique du problème. concludere che la mancanza di una soluzione generica del problema. Cette Questo remarque est, pour beaucoup, dans la fécondité du principe du maximum, il punto è, per molti la fertilità del principio di massimo, et explique les propriétés si curieuses à maint égard des opérateurs du e spiega le proprietà in modo curioso di maint nei confronti degli operatori second ordre sur les fonctions. funzioni di secondo ordine. 4-. 4 -. Obstruction homologique. ostruzione omologici. — Revenons par exemple au « problème - Tornando all'esempio "problema type Dirichlet ». Dirichlet. 11 est clair qu'on pourra définir une obstruction topolo- 11 è chiaro che possiamo definire un ostruzione topologica- gique au problème. CAL al problema. La donnée sur le bord permet de définir une applica- I dati sulla scheda di definire una domanda tion/( zione / ( r r ):^-^ î/, où Uc(0) est l'image réciproque de ^"x K dans la pro- ):^-^ I /, dove Uc (0) è l'immagine inversa di ^ "x K nel pro- jection (a, b). Pour que le problème soit possible, il faut que cette iniezione (a, b). Per il problema è possibile, è necessario che questo application f^ de S" dans U soit homotope à zéro dans (0). Bien entendu, applicazione di f ^ S "U è omotopia a zero (0). Naturalmente, cette conditions nécessaire n'est pas suffisante. le condizioni necessarie ma non sufficienti. Ce n'est pas parce qu'on aura Questo non perché noi prolongé l'application sur le bord par une application g'.B^^— (0)^ qu'on ha esteso l'applicazione al consiglio da una mappatura g '. B ^ ^ - (0) ^ che sera sûr d'obtenir une solution; en effet, il faut d'abord s'assurer que g peut essere sicuri di ottenere una soluzione, infatti, si deve innanzitutto garantire che g può être déformée en une application g^ telle que aogy-==z identité. essere deformata in una mappatura g tale che ^ == z aogy-identità. Cette seule Questo singolo condition, purement homotopique, ne sera déjà pas facile à exprimer, sauf e puramente omotopia, non già facile esprimere, ad eccezione dans le cas où (0) est un espace fibre sur ^ if (0) è un fascio di fibre su ^ n+l n + X Y. Ensuite, il faudra X Y. Quindi, sarà s'assurer que cette « section » g ' est de la forme A^, où h est une application garantire che questa "sezione" g 'ha la forma A ^, dove h è una domanda de B' B ' 1 1 ^ dans Y. Cette dernière condition, qui exprime que l'application^' ^ In Y. Questa condizione esprime che la domanda ^ ' est « holonome » est lout-à-fait hors de portée de la topologie algébrique è "olonomi" è quello di tanghero è fuori dalla portata di topologia algebrica actuelle. presente. Une première approximation consiste à se poser le problème, non en Una prima approssimazione è quella di porre il problema, non termes d'homotopie, mais en termes d'homologie. termini di omotopia, ma in termini di omologia. On considérera que la Riteniamo che donnée sur le bord définit un « cycle singulier » de dimension n de I dati a bordo definisce un "ciclo singolare" di dimensione n l'espace (U). Pour qu'il y ait une solution, il faut que ce cycle soit homo- spazio (U). Perché vi è una soluzione, si deve ciclo è omo- logue à zéro dans l'ouvert (0). Ainsi se trouve définie une « obstruction ogous a zero in piena aria (0). Così viene definito un "ostacolo homologique » dont la nullité est une condition nécessaire à l'existence omologica ", che la revoca è una condizione necessaria per l'esistenza d'une solution. soluzione. Bien entendu, cette condition est, en général non suffisante : Naturalmente, questa condizione non è generalmente sufficiente: il est aisé de fabriquer des exemples, où cette obstruction est nulle, alors è facile produrre esempi in cui l'ostruzione è zero, allora qu'évidemment aucune solution n'existe. ovviamente non esistono soluzioni. Par exemple, l'obstruction homolo- Ad esempio, il-ostruzione controparti gique, dans le problème 2, revient à annuler le degré d'un champ de vecteurs gio, nel problema 2, è quello di annullare il grado di un campo vettoriale sur (S), alors qu'on veut prolonger ce champ par un champ de gradients. su (S), quindi abbiamo deciso di estendere questo campo con un gradiente di campo R. R. THOM. Thom. Dans le but d'obtenir un résultat un peu général, on va affaiblir la notion de Al fine di ottenere un risultato un po 'generale, si indebolirà il concetto di solution. soluzione. Introduisons d'abord le Introdurre prima il 5. 5. Système de Pfaff associé à un espace de jets. sistema Pfaffiano associato con uno spazio di getti. — A tout espace de - In qualsiasi spazio jets ^(T? getto ^ (T? 72 72 , RP) se trouve canoniquement associé un système de Pfaff, qui , RP) è canonicamente associato un sistema Pfaffiano, che définit les coordonnées des fibres comme dérivées partielles, des coordon- definisce le coordinate delle fibre come derivate parziali del coordinamento nées jy du but RP par rapport aux variables (^) de la source JR jy nati scopo PR nelle variabili (^) dalla sorgente JR n n . Par . Per exemple, pour l'espace J^-^R^ /?), nous avons quatre coordonnées ( x ^ y ^ p ^ q)^ Ad esempio, per lo spazio J ^ - ^ R ^ /?), Abbiamo quattro coordinate (x q ^ y ^ p ^) ^ et le système de Pfaff associé est dy —p dx = o ; dp — q dx == o. e il Pfaffiano sistema associato è dx dy = o-p; dp - dx q == o. Dans le cas de r== i, on obtient ce qu'on appelle une structure de contact Nel caso di r == i, si ottiene una chiamata di contatto struttura-così dans l'espace </ in <spazio / 1 1 . . Etant donné un système de Pfaff (^2) dans une variété différentiable Af, Dato un sistema Pfaffiano (^ 2) in un collettore di Af differenziabile, on peut former le sous-complexe GQ des simplexes singuliers différen- siamo in grado di formare il subcomplesso di simplessi GQ singolare dif- tiables ^2-intégrables (c'est-à-dire, tels que toute forme de l'idéal des formes tiables ^ 2-integrabile (vale a dire, in modo che ogni forma di forme ideali de ^ s'annule sur ce simplexe). di ^ annulla su questo simplex). On pourra tout d'abord, en première Noi prima di tutto, in un primo momento approximation, se demander si le cycle portant la donnée sur le bord est approssimazione, se il ciclo sui dati sul bordo orientale bord d'une chaîne formée de simplexes ^2-intégrables. bordo hanno formato una catena di simplessi ^ 2-integrabili. De manière un peu plus poussée, on peut se demander s'il existe une In un po 'più avanti, ci si può chiedere se vi è solution généralisée du type suivant : une variété à bord A/", de bord S soluzione generalizzata del seguente tipo: una varietà a bordo di A / "spigolo S n n et e une application différentiable F:M-> (0)^ telle que : una mappatura differenziabile F: M-> (0) ^ tale che: (i) la restriction de F au bord de M soit l'application donnée f^\ (I) la restrizione di F al limite di M è data applicazione f ^ \ (ii) l'application F soit ^2-intégrable. (II) l'applicazione è E ^ 2-integrabili. On va montrer que la nullité de l'obstruction homologique est une condi- Mostreremo che la nullità di ostruzione omologica è una condizione tion suffisante pour qu'il existe une chaîne de GQ, ayant pour bord le cycle zione che vi sia sufficiente una catena di GQ, con il ciclo di bordo donné. dato. On aura une solution généralisée, si de plus, une condition (relati- Ci sarà una soluzione generalizzata, se più, una condizione (relativamente vement faible) de nature purement topologique est satisfaite : parmi tous les relativamente bassa) topologica condizione puramente è soddisfatta: tra tutti cycles ayant pour bord la donnée, il en est qui sont images de variétés cicli con la scheda dei dati, ci sono alcuni che sono immagini di varietà différentiables. differenziabile. En fait, on va montrer le In effetti, mostreremo THÉORÈME 1. TEOREMA 1. — Pour tout ouvert (0) d^un espace de jets , V injection du - Per qualsiasi aperto (0) d ^ spazio di getti, iniezione V complexe GQ, des simplexes intégrables pour t2 dans le complexe total des GQ complesso, simplex integrato per t2 nel complesso totale simplexes singuliers différentiables induit un isomorphisme des groupes simplessi singolari differenziabili induce un isomorfismo di gruppi d^homologie^ et ceci pour toute dimension i strictement inférieure à la d ^ ^ e questa omologia a qualsiasi dimensione i strettamente inferiore al dimension n de la variété-source. n dimensione della sorgente di varietà. De plus, Y homomorphisme d^ injection est surjectif pour la dimension n. Inoltre, Y omomorfismo iniezione ^ è suriettiva per n-dimensionale En particulier, l'homologie locale du complexe GQ des simplexes inté- In particolare, l'omologia del complesso integrale simplex locale GQ grables est triviale pour les dimensions < n ; en vertu des arguments Grable è banale in n dimensioni <, sotto gli argomenti classiques de théorie des faisceaux, on pourra par suite affirmer : Si un teoria classica di travi, perché si può dire: se un système de Pfaff ^ est localement équivalent en tout point au système ^2 ^ Pfaffiano sistema è localmente equivalente in qualsiasi punto del sistema ^ 2 des espaces de jets, on peut affirmer que l'homologie du complexe des spazi di getti, possiamo dire che l'omologia del complesso simplexes ^-intégrables s'identifie à l'homologie de la variété pour toute simplessi ^ integrabile identificata con l'omologia della varietà per ogni dimension << n. dimensione <<n. n étant la dimension de la variété de base «locale». n è la dimensione della base di molteplici "locale" rhomologie singulière des simplexes intégraux pour cette forme donne rhomologie simplessi singolare del presente modulo si completa l'homologie de M pour toute dimension i^n — i. l'omologia di M per ogni dimensione i ^ n - i. 6. 6. Démonstration du théorème. Dimostrazione del teorema. — Elle repose essentiellement sur la - Si basa principalmente su construction d'une déformation (un « opérateur d'homotopie ») du com- costruzione di una deformazione (un operatore di omotopia) di com- plexe S{J) de tous les simplexes singuliers différentiables dans les simplexes complesso S (J) di tutti i simplessi singolari differenziabili in simpliciale ^-intégrables. ^-Integrabili. Une telle déformation doit être « héréditaire », c'est-à-dire Questa deformazione deve essere "ereditaria", vale a dire compatible avec la restriction aux faces. compatibile con la limitazione ai volti. Il suffira, par ailleurs de construire Basti anche a costruire cette déformation — puisque le problème est essentiellement local — pour Questo ceppo - dal momento che il problema è essenzialmente locale - un ouvert de J^T?^, RP). un insieme aperto di T ^ J? ^, RP). On se bornera à donner ici le principe de la construction, renvoyant à Basti qui per dare il principio di costruzione, facendo riferimento alla plus tard les détails techniques. ultimi dettagli tecnici. On va définir une classe très spéciale Noi definire una classe molto speciale d'applications, appelées F-applications, ou applications à fort gradient. applicazioni, denominato F-applicazioni o applicazioni ad elevata pendenza. Soient b Sia b 13 13 un simplexe de dimension r, b un simplex di dimensione r, b 71 71 un simplexe de dimension n ^ r, un simplex di r ^ n dimensioni, b' b ' 7 7 ^ une subdivision de b ^ A b suddivisione 7 7 ^ et soit s une application simpliciale de cette sub- S ^ ed è un applicazione di tale sub-simpliciale division b' divisione b ' 1 1 ' de b 'Di b 1 1 ^ dans b ^ In b 71 71 . Plus la subdivision b' est fine, plus l'application s . B suddivisione più 'è più fine, la mappatura s est « à fort gradient », en ce sens que le quotient [s(sc)—s(y)\/{œ— j è "ad alto gradiente", nel senso che il rapporto [s (sc)-s (y) \ / (-j œ 7 7 ), ) pour tout couple de points x^ yç.b per ogni coppia di punti x ^ yç.b 7 7 ' assez voisins, est d'autant plus grand 'Abbastanza vicino, è ancora più grande que la subdivision b' che la suddivisione b ' 7 7 ' est plus fine. È più fine. Par ailleurs, toute application simpliciale peut être différentiablement Inoltre, qualsiasi applicazione può essere simpliciale differentiably uniformisée, au sens suivant : il existe une application difFérentiable F de b standardizzata nel seguente senso: esiste una mappatura F differenziabile b 7 7 ' ' dans le produit b nel prodotto b 7 7 ^ x ^, telle que : ^ ^ X, tale che: 1° L'image géométrique F (b 1 L'immagine geometrica F (b 7 7 ') est le graphe de l'application simpliciale s. ') È il grafico della domanda simpliciale s. 2° Si p désigne la projection canonique du produit b 2 Se p indica la proiezione canonica del prodotto b 1 1 ^ x b X ^ b 11 11 sur le premier il primo facteur, po F est arbitrairement voisin de l'identité. fattore, F Po è arbitrariamente vicino identità. Bien entendu, l'applica- Naturalmente, l'applicazione tion F doit présenter sur le (r — i)-squelette de la subdivision b' des singu- F zione deve avere la (r - i)-scheletro del b suddivisione 'singolari- larités d'ordre infini, du type de celles définie par la fonction exp(—i/«^ arietà di ordine infinito, come quelle definite dalla funzione exp (-i / "^ 2 2 ) ) à l'origine. in origine. Enfin, on définira un automorphisme du produit b Infine, si definisce un automorfismo di prodotto b 1 1 ^ x ^" qui laisse fixe le ^ ^ X "che lascia fissato il produit à^xb prodotto ^ xb 7 7 ^ et qui affecte seulement un voisinage tubulaire de b ^ E che colpisce solo un quartiere tubolare di b r r xàb xab n n ^ ^ et dont l'effet sur ce bord (le long de géodésiques normales par exemple), e l'effetto in questo forum (lungo geodetiche esempio normale), est de dilater ces géodésiques suivant une loi de la forme d-^d^i' è quello di espandere queste geodetiche secondo una legge della forma-d ^ ^ i ' 111 111 ^ m^3. ^ M ^ 3. Après un tel automorphisme, le graphe de s n'admettra sur le bord b Dopo un tale automorfismo, il grafico di s ammettere il bordo b 7 7 ^ x àb X ^ ab 71 71 que des points à plan tangent vertical (parallèle à TX b"-). Finalement, che fa riferimento al piano tangente verticale (per TX b parallele "-). Infine, l'application obtenue satisfait aux propriétés suivantes : la conseguente applicazione soddisfa le seguenti proprietà: i° En tout point régulier de l'application V i. In ogni punto regolare del V f f .b . B r r ->b -> B n n ^ l'application est à Applicazione ^ è fort gradient. forte gradiente. 2° Si y est un point singulier de l'application F \ on peut y définir un jet 2 Se non è un punto singolare della F mappatura \ possiamo definire un jet d'ordre r de V comme limite des jets d'ordre r de V aux points réguliers x r ordine di V come limite di getti R. R. THOM. Thom. Soit maintenant un simplexe s'^çSÇJ ) défini par les formules Consideriamo ora una simplex s '^ SCCY) definito dalle formule J/=/y(^); J / = / y (^); ^=^(P)'^ ^ = ^ (P) '^ ^^-——^—^^(p). ^^---^-^^( P). ux ux ^... ^ ... îm im Désignons par Ç^i, t^ ..., tn) le polynôme de degré r en les n variables Indichiamo con £ I ^, ^ t ..., tn) il polinomio di grado r in n variabili auxiliaires t^ t^ .... tn dont les dérivées partielles à l'origine définissent Ausiliaria t ^ t ^ tn .... la cui derivate parziali per definire l'origine le point a(uk=za/,) de l'espace des ?//. punto A (za = uk / BE) dello spazio? / /. On va définir une application 77 du Noi definire un mapping 77 produit b'^x ^ dans 7?^ x RP par les formules suivantes : prodotto b '^ x ^ in 7? RP ^ x con la seguente formula: H(j?, t^ ^2, . .., t,i) est le point de coordonnées : H (? T j ^ ^ 2,. .., T, i) è il punto di coordinate: ^^^(p) +^-; ^ ^ ^ (P) + ^ -; yj=fj(p) +ÇM^^ ...,^), yj = fj (p) + CM ^ ^ ...,^), où a est le point 11^-==. dove a è il punto 11 ^-==. hk(p). hk (p). Cela étant, on remplacera le simplexe s'' initial par le simplexe s''' Tuttavia, sostituire i primi s''s''the simplex simplex ' de 7?^ x HP défini par la formule H{p^ V(p)) , où V est une application 7? HP ^ x definito con la formula ^ H (p V (p)), dove V è una domanda « à fort gradient de b "Gradiente Alta b 7 7 ^ dans b ^ In b n n )^ paramétrée par les coordonnées ^i, t^ ..., t^\ ) Con parametri dalle coordinate ^ ^ i, t ^ ..., t ^ \ en tout point régulier de l'application F, le jet de ^ dans RP est défini ogni punto regolare della F mappatura, il getto di ^ è definito in RP (parce que défini à l'aide des polynômes Ça)-s donc aussi le jet de b (Poiché definiti polinomi utilizzando Ca)-s quindi anche il jet b 1 1 ^ dans 7?^, In ^ 7? ^, et par suite aussi le jet de y par rapport aux x. Les dérivées partielles u^ e quindi anche il flusso di y rispetto a x. Le derivate parziali u ^ seront définies en ces points et prendront des valeurs qu'on pourra déter- saranno definite in questi punti e prendere i valori che possono deter- miner à partir des équations du simplexe s\, (éventuellement avec une cer- erodere dalle equazioni del simplex s \, (possibilmente con un certo taine indétermination). Tain indeterminatezza). Ces valeurs se prolongeront par continuité aux Questi valori continuerà con la continuità points singuliers comme fonction différentiables de (p)'i comme l'amplitude funzione derivabile come punti singolari di (p) 'i come l'ampiezza de la fonction V peut être prise aussi petite qu'on veut, le simplexe ^ sera, funzione di V può essere preso piccolo come vogliamo, il simplex volontà ^ dans R in R 11 11 x RP^ arbitrairement voisin du simplexe initial; par ailleurs, V est x ^ RP arbitrariamente vicino simplex iniziale; anche V à fort gradient, et localement linéaire (ou presque); par suite, les dérivées elevata pendenza, e localmente lineare (o quasi) come risultato, i derivati partielles de y par rapport à x sont très voisins de celles des polynômes Çy parziale di y rispetto a x sono molto simili a quelle di polinomi Cy par rapport à ^, l'approximation étant d'autant meilleure que le gradient rispetto a ^, l'approssimazione è meglio di tutti il gradiente de V est le plus fort, et son amplitude plus petite. V è il più forte, e la sua ampiezza minore. Le caractère héréditaire de la déformation s —> s' sera obtenu grâce au Il carattere ereditario della deformazione s - s> 'sarà raggiunto attraverso Toute F-application du bord àb - Qualsiasi applicazione a bordo di F ab 1 1 ^ dans b ^ In b 11 11 se prolonge en si estende une F-application de b'^ applicazione di un F-b '^ 1 1 dans 6^. in 6 ^. Il n'y a là guère que le prolongement d'une application simpliciale. Vi è poco più che una continuazione della simpliciale domanda. On voit que le principe de la construction est de remplacer tout simplexe Noi vediamo che il principio di costruzione è quello di sostituire qualsiasi simplex non holonome par un simplexe voisin holonome qui présente des singularités anolonomi un simplex vicino olonomi che ha singolarità en « dents de scie )). in "dente di sega)). Dans la construction générale esquissée plus haut, ces Nella costruzione generali sopra indicati, questi singularités sont d'ordre infini. singolarità sono di ordine infinito. En fait, on pourrait rechercher si l'on ne In effetti, si potrebbe trovare se lo facciamo pourrait pas obtenir des singularités plus douées. singolarità non ha potuto ottenere più di talento. Dans le cas de problèmes In caso di problemi du premier ordre, il est possible d'avoir un aperçu des singularités minimum primo ordine, è possibile avere una visione d'insieme di singolarità minimo présentées par une «pseudo-solution )). presentato da una pseudo-soluzione)). Soit ^ Let ^ r r un simplexe non holonome; anolonomi un simplex; c'est la donnée, en tout point p du simplexe projection ^ dans 7?^ X 7?^, è dato in qualsiasi punto p nella proiezione simplex ^ 7? ^ X 7? ^ d'une direction de n-plan issue de/?; le problème consiste à modifier d'arbi- un piano di gestione dopo n-/?, il problema è quello di modificare arbitrario trairement peu ce champ de ^-plans, de telle façon qu'il admette plex DII iniziale chiudere 1 1 '. '. On peut s'attendre à ce que la construction faite plus haut après une éven- Ci si può aspettare che la costruzione di cui sopra, dopo un pos- tuelle déformation destinée à faire disparaître les singularités d'ordre trop deformità per il fine di eliminare le singolarità di ordine troppo élevé, ne conduisent qu'aux singularités présentées génériquement par les enve- elevato, non solo portano singolarità genericamente presentato dalla enve- loppes de ^î-plans, à n paramètres, dans l'espace R^P. Or ces singularités luppo ^ p-aerei, nessuno dei parametri nello spazio R ^ P. Ma queste singolarità sont relativement bien connues (singularités du type Si Si. . . Si , dans ma sono relativamente ben conosciuta (singolarità del tipo di Si Se .. Se, a mio notation) [3]. notazione) [3]. CONCLUSION. CONCLUSIONE. — Si un problème d'inéquations différentielles du type de - Se un problema di disuguaglianze differenziali del tipo di Dirichlet à une obstruction homologique nulle, le problème admet une Dirichlet ostruzione omologica zero, il problema ammette «solution généralisée» : cette solution est multiforme (en général) et pré- "Soluzione generalizzata": questa soluzione è multiforme (in generale) e pre- sente des singularités (du type de celles présentées par les enveloppes dans sento di singolarità (come quelli presentati dai buste in le cas du premier ordre). dove il primo ordine). Il serait d'un très grand intérêt de pouvoir déter- Sarebbe di grande interesse per deter- miner le nombre minimum de déterminations d'une solution généralisée ; on mine il numero minimo di determinazioni di una soluzione generalizzata, abbiamo définirait ainsi un entier naturel (impair, pour raison de degré) qui mesu- e definire un naturale (strano, perché ad un grado) che mi- rerait le « complexité » de la donnée : les données admettant une solution salute migliorerebbe la "complessità" dei dati: i dati ipotizzando una soluzione usuelle étant celles de complexité i. essere quelli di complessità sempre i. Cette construction est d'ailleurs très analogue à l'interprétation de l'homo- Questa costruzione è molto simile alla interpretazione della omo- logie comme homotopie du produit symétrique ; soit X une variété, de logia come il prodotto di omotopia simmetrico; Sia X una varietà di dimension n, orientée compacte séparée, ( F ) un faisceau d'ensembles n-dimensionale orientato separato compatto (F) un fascio di insiemi sur X ", Y l'espace étalé associé ; à tout ouvert U de X est associé X, Y, il etale associati; ogni U aperto di X è associata l'ensemble F (U) des sections de ( F ) sur U\ désignons par AG(F, U) le l'insieme F (U) sezioni di (F) U denotare \ da AG (F, U) l' groupe abélien libre engendré par les éléments de Y(u ) ; on définit ainsi un gruppo abeliano libero generato dagli elementi di Y (u) è definito come un nouveau faisceau sur ^T, noté AG(F). La construction précédente suggère fascio nuova T ^, indicato AG (F). La costruzione sopra suggerisce que le groupe d'homologie singulière H^(Y^ Z) est isomorphe au groupe il gruppo di omologia singolare H ^ (Y ^ Z) è isomorfo al gruppo abélien des sections T(AG(F)) \ on obtiendrait ainsi une généralisation du abeliano T sezioni (AG (F)) \ e si ottiene una generalizzazione della théorème relatif à l'homotopie du produit symétrique [1]. teorema di omotopia sul prodotto simmetrico THOM (René). [3] THOM (Rene). — Les singularités  René THOM, René Thom